gazya.ru страница 1
скачать файл

ДИСЦИПЛИНА: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Тема 1: Дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание:

1.Основные понятия

2. Уравнения с разделяющимися переменными

3. Линейные уравнения

4. Уравнение Бернулли

5. Уравнение в полных дифференциалах
1.Основные понятия.

Определение 1. Уравнение вида F(x,y,y') = 0, (1)

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у', то оно принимает вид

у'=f(х,у) (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относи­тельно производной.

Пример дифференциальных уравнений: у' = хеу, , у'=х+у т. д.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого



порядка называется функция , , которая при под­становке в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциаль­ного уравнения называется интег­ральной кривой.

Условия

y = y0 при х=х0, (3)



в силу которых функция принимает заданное значение у0 в за­данной точке х0, называют начальными условиями решения.

Определение 3. Общим решением уравнения (2) в некоторой области G плоскости Оху называется функция , зави­сящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С и если при любых начальных условиях (3) таких, что (х0; у0) G, сущес­твует единственное значение постоянной С=С0 такое, что функ­ция удовлетворяет данным начальным условиям

Определение 4. Частным решением уравнения (2) в области G называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении потоянной С=С0.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение— одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х0; уо).

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравне­ния в области у>0 и у<0 является функция у=С/х, где С — произвольная постоянная. При различных значениях С получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, на­чальным условиям xо=1, yо=1. Имеем 1=С/1. Отсюда С=1 и искомое частное решение у= 1/х.

Геометрически общее решение данного уравнения представля­ет собой семейство гипербол у = С/х, каждая из которых изоб­ражает частное решение данного уравнения. Задавая начальные условия xо = 1, уо = 1, выделяем из всего семейства ту гиперболу, которая проходит через точку (1; 1) плоскости Оху (рис. 60).

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 5. Уравнение вида



, (4)

где f1 (х) f2 (y) — непрерывные функции, называется дифференци­альным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение у' = у/х.

Решение. Данное уравнение вида (4), где f1 (х) = 1/х и f2 (y) = y. Разделяя переменные, получаем Интегрируя, имеем



|,

Потенцируя, находим |y| = || |x|, что эквивалентно уравнению Полагая ± = С, окончательно получаем у=Сх.



3. Линейные уравнения.

Определение 6. Уравнение вида

y'+p(x)y=f(x), (5)

где р(х) и f(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функ­ция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f (х)=0, то уравнение (5) называется линейным однород­ным уравнением. Если f(х)≠0, то уравнение (5) называется ли­нейным неоднородным уравнением.

Пример 4. Найти общее решение уравнения у'+ 3у = .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х)= 3; f

(х)= . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у'+ 3у=0. Разделяя переменные и интегрируя, находим

In|у|=-3x + In|| илиу=.

Общее решение данного неоднородного уравнения будем ис­кать в том же виде у =, только произвольную постоян­ную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у'=. Подставляя в данное уравнение выражения для у и у', получаем

или

Откуда где С2 – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

или

Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим y=uv. Тогда будем иметь у' = u'v + uv'. Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим



или . (6)

Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v'+3v=0, откуда

Подставляя найденное значение v в (6), найдем ;

Но у=uv, поэтому

или

4. Уравнение Бернулли.

Определение 7. Уравнение вида

y' + P(x)y = Q(x),

где Р (х) и Q (х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подста­новкой у = uv или вариацией произвольной постоянной. Приво­дится к линейному подстановкой .

Пример 5. Решить уравнение у' – 2ху = 3х3у2.

Решение. Это уравнение Бернулли (левая часть у него такая же, как и у линейного, а в правой части стоит выражение f(x) уn, где n — постоянное число, в данном примере 3х3у2).

Разделим обе части данного уравнения на у2:



. (7)

Положим z = y-1, тогда – y-2y' = z'. Умножая обе части урав­нения (7) на –1 и выполняя указанную подстановку, получим линейное уравнение

z' + 2xz= – 2х3.

Решая это уравнение, находим



Следовательно, общим решением данного уравнения будет


5. Уравнение в полных дифференциалах.

Определение 8. Уравнение вида

P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0, (8)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некото­рой функции F(х;у) в некоторой области G, называется уравнени­ем в полных дифференциалах.

Если уравнение (8) является уравнением в полных дифферен­циалах, то его можно записать следующим образом: dF (x; у) = 0, где F (х; у) – такая функция, что dF (х; у) = Р (х; у) dx + Q (х; у) dy. Отсюда следует, что общее решение уравнения (8) имеет вид F (х; у) = С. Решение сводится к отысканию функции F (х; у).

Пример 6. Найти общее решение уравнения

(х + у + 1)dx + (x – y2 + 3)dy=0.

Решение. Здесь Р (х; у) = х + у +1, Q (х; у) = х – у2 + 3.

Так как

то выражение (х + у +1)dx+(x – у2 + 3)dу является полным дифференциалом некоторой функции F (х; у). При этом и – непрерывные функции. Тогда



Интегрируя левую и правую части по х, получим

F (x; y) = P (х; у)dx + C(y)=(x + y +1)dx + C(y) = (9)

Чтобы найти С(у), используем (9) и тот факт, что



Имеем




Подставляя найденное С (у) в (9), получаем



Данное уравнение принимает вид dF(x; y) = 0, а его общее реше­ние определяется уравнением



или

Полагая 6 (С2 – C1) = C3 (C3 — произвольная постоянная), полу­чаем окончательное уравнение, определяющее общее решение исходного уравнения Зх2 + 6ху + 6х—2у3 + 18у = С3.
скачать файл



Смотрите также:
Задача Коши для линейного однородного ду в ЧП первого порядка. Квазилинейные ду в ЧП первого порядка
27kb.
1: Дифференциальные уравнения первого порядка
59.34kb.
1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях и их решениях. Уравнения 1-го порядка: задачи Коши, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными
97.41kb.
Лекция №12 Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
67.28kb.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения»  для направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
220.02kb.
Рабочая программа по курсу (дисциплине) дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными для студентов
78.02kb.
Н. Э. Баумана пузанов в. П. Лекции
282.58kb.
Записать дифференциальные уравнения однородной длинной линии (одл) при отсчете координаты X от начала линии и от ее конца
13.27kb.
Программа дисциплины «Методы оптимизации»
102.22kb.
Задачи для подготовки к экзамену
12.22kb.
Отчет по практической работе №4 по курсу «Вычислительная математика» студентка Проверил: Ямникова О. А. Тула
116.31kb.
Манометры дифференциальные сильфонные показывающие дсп-160-М1 дсп-4Сг-М1 дсп-ус
18.4kb.