gazya.ru страница 1
скачать файл

Туймаада-2013

Старшие

1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник.

2. Точки X и Y внутри ромба ABCD таковы, что точка Y лежит внутри выпуклого четырёхугольника BXDC и 2XBY=2XDY= ABC. Докажите, что прямые AX и CY параллельны.

3. Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в n+1 цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа n(n-1)/2 ребер без потери связности.

4. Докажите, что для любых положительных x, y, z, для которых xyz=1, выполнено неравенство

5. Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде P(Q(x))+R(S(x)), где P, Q, R, S – квадратные трехчлены.

6. Решите уравнение p2-pq-q3=1 в простых числах.

7. Точки A1, A2, A3, A4 – вершины правильного тетраэдра с ребром 1. Точки B1 и B2 лежат внутри фигуры, ограниченной плоскостью A1A2A3 и сферами радиуса 1 с центрами A1, A2, A3. Докажите, что B1B2ax(B1A1, B1A2, B1A3, B1A4).

8. Карточки с номерами от 1 до 2n раздают k детям, 1≤k≤2n, так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на 2k-1, но не делится на 2k.

Туймаада-2013

Старшие

1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник.

2. Точки X и Y внутри ромба ABCD таковы, что точка Y лежит внутри выпуклого четырёхугольника BXDC и 2XBY=2XDY= ABC. Докажите, что прямые AX и CY параллельны.

3. Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в n+1 цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа n(n-1)/2 ребер без потери связности.

4. Докажите, что для любых положительных x, y, z, для которых xyz=1, выполнено неравенство

5. Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде P(Q(x))+R(S(x)), где P, Q, R, S – квадратные трехчлены.

6. Решите уравнение p2-pq-q3=1 в простых числах.

7. Точки A1, A2, A3, A4 – вершины правильного тетраэдра с ребром 1. Точки B1 и B2 лежат внутри фигуры, ограниченной плоскостью A1A2A3 и сферами радиуса 1 с центрами A1, A2, A3. Докажите, что B1B2ax(B1A1, B1A2, B1A3, B1A4).

8. Карточки с номерами от 1 до 2n раздают k детям, 1≤k≤2n, так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на 2k-1, но не делится на 2k.

Туймаада-2013, МЛАДШИЕ

1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник.

2. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором AC параллельно DF, BD параллельно AE и CE параллельно BF. Докажите, что AB2+CD2+EF2=BC2+DE2+AF2.

3. Для любых положительных чисел a и b докажите неравенство .

4. Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в n+1 цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа n(n-1)/2 ребер без потери связности.

5. Каждая грань куба 777 разбита на единичные квадраты. Какое максимальное число квадратов можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных квадрата не имели общих точек?

6. В клетках таблицы 66 стоят квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Все их 108 коэффициентов – целые числа от -60 до 47 (по одному разу). Докажите, что хотя бы в одном столбце сумма квадратных трехчленов имеет корень.

7. Решите уравнение p2-pq-q3=1 в простых числах.

8. Точка A1 на периметре выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что прямая AA1 делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки B1, C1 и D1. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами A1, B1, C1, D1 больше четверти площади ABCD.

Туймаада-2013, МЛАДШИЕ

1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник.

2. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором AC параллельно DF, BD параллельно AE и CE параллельно BF. Докажите, что AB2+CD2+EF2=BC2+DE2+AF2.

3. Для любых положительных чисел a и b докажите неравенство .

4. Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в n+1 цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа n(n-1)/2 ребер без потери связности.

5. Каждая грань куба 777 разбита на единичные квадраты. Какое максимальное число квадратов можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных квадрата не имели общих точек?

6. В клетках таблицы 66 стоят квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Все их 108 коэффициентов – целые числа от -60 до 47 (по одному разу). Докажите, что хотя бы в одном столбце сумма квадратных трехчленов имеет корень.

7. Решите уравнение p2-pq-q3=1 в простых числах.

8. Точка A1 на периметре выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что прямая AA1 делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки B1, C1 и D1. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами A1, B1, C1, D1 больше четверти площади ABCD.

Командная олимпиада 17.09, ВДЦ «Орленок», старшие

1. Числа x и y различны и не равны 1. Известно, что . Докажите, что a=x+y+z.

2. В компании некоторые пары людей являются друзьями (дружба взаимна). Известно, что если двое людей не являются друзьями, то они имеют ровно двух общих друзей. В этой компании нашлись двое друзей A и B, у которых нет общих друзей. Докажите, что у A и B поровну друзей.

3. Можно ли записать в строчку числа от 1 до 2013 так, чтобы все 2012 произведений пар соседних чисел давали разные остатки при делении на 2013?

4. Через основания каждой из биссектрис треугольника ABC проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника, не содержащим соответствующее основание. На каждой из этих прямых рассмотрим отрезок, лежащий внутри треугольника. Докажите, что сумма этих шести отрезков не превосходит периметра треугольника ABC.

5. На доске написано число 2010. Каждый из двух игроков своим ходом прибавляет к написанному числу один из его простых делителей, не больший 10. Выигрывает тот, кто напишет на доске число большее 1000000. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

6. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки K, L, M соответственно. Точки A1 и A2 -- середины отрезков AL и AM, B1 и B2 -- середины отрезков BM и BK, C1 и C2 -- середины отрезков CK и CL. Пусть A', B', C' -- центры описанных окружностей треугольников AA1A2, BB1B2, CC1C2. Докажите, что треугольники ABC и A'B'C' подобны.

7. Найдите все функции f:Z+Z+ такие, что для любых неотрицательных m и n выполняется равенство 2f(m2+n2)=f(m)2+f(n)2. (Здесь Z+ -- множество всех целых неотрицательных чисел.)

8. Внутри треугольника T выбрано 1000 точек. Докажите, что существует набор M из 2013 треугольников со сторонами, параллельными сторонам T, обладающий следующими свойствами: 1) ни одна из выбранных точек не лежит строго внутри треугольника из набора M; 2) объединение всех треугольников из набора M есть треугольник T.

Командная олимпиада 17.09, ВДЦ «Орленок», старшие

1. Числа x и y различны и не равны 1. Известно, что . Докажите, что a=x+y+z.

2. В компании некоторые пары людей являются друзьями (дружба взаимна). Известно, что если двое людей не являются друзьями, то они имеют ровно двух общих друзей. В этой компании нашлись двое друзей A и B, у которых нет общих друзей. Докажите, что у A и B поровну друзей.

3. Можно ли записать в строчку числа от 1 до 2013 так, чтобы все 2012 произведений пар соседних чисел давали разные остатки при делении на 2013?

4. Через основания каждой из биссектрис треугольника ABC проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника, не содержащим соответствующее основание. На каждой из этих прямых рассмотрим отрезок, лежащий внутри треугольника. Докажите, что сумма этих шести отрезков не превосходит периметра треугольника ABC.

5. На доске написано число 2010. Каждый из двух игроков своим ходом прибавляет к написанному числу один из его простых делителей, не больший 10. Выигрывает тот, кто напишет на доске число большее 1000000. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

6. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки K, L, M соответственно. Точки A1 и A2 -- середины отрезков AL и AM, B1 и B2 -- середины отрезков BM и BK, C1 и C2 -- середины отрезков CK и CL. Пусть A', B', C' -- центры описанных окружностей треугольников AA1A2, BB1B2, CC1C2. Докажите, что треугольники ABC и A'B'C' подобны.

7. Найдите все функции f:Z+Z+ такие, что для любых неотрицательных m и n выполняется равенство 2f(m2+n2)=f(m)2+f(n)2. (Здесь Z+ -- множество всех целых неотрицательных чисел.)

8. Внутри треугольника T выбрано 1000 точек. Докажите, что существует набор M из 2013 треугольников со сторонами, параллельными сторонам T, обладающий следующими свойствами: 1) ни одна из выбранных точек не лежит строго внутри треугольника из набора M; 2) объединение всех треугольников из набора M есть треугольник T.

Командная олимпиада 17 сентября, ВДЦ «Орленок»

Лига Старт

1. Можно ли выписать в ряд 10 натуральных чисел, чтобы среднее арифметическое любых двух или более подряд идущих чисел не было целым числом?

2. На складе имеется много мешков с песком общей массой более 1001 кг. Каждый мешок весит не более 1 кг. Докажите, что в грузовик, который может увезти 1000 кг и в тележку, в которую помещается 1 кг, можно отгрузить для вывоза не менее 1000 кг песка.

3. Разрежьте правильный шестиугольник на три части, из которых можно сложить треугольник.

4. Числа x и y различны и не равны 1. Докажите, что, если, то .

5. На сторонах квадрата ABCD построены равносторонние треугольники BCE (внутрь квадрата) и CDF (наружу). Точки O и M -- середины отрезков AC и EF соответственно. Докажите, что треугольник OCM -- равносторонний.

6. Из целых чисел от 1 до 20 выбрали 7 различных. Докажите, что из выбранных чисел можно составить две группы с одинаковой суммой. В группы могут входить не все выбранные числа.

7. Решите в целых числах уравнение 36a4+b4=9c4+4d4.

8. На доске написано число 2010. Каждый из двух игроков своим ходом прибавляет к написанному числу один из его простых делителей, не больший 10. Выигрывает тот, кто напишет на доске число, большее 1000000. Кто может выиграть независимо от игры соперника?
Командная олимпиада 17 сентября, ВДЦ «Орленок»

Лига Старт

1. Можно ли выписать в ряд 10 натуральных чисел, чтобы среднее арифметическое любых двух или более подряд идущих чисел не было целым числом?

2. На складе имеется много мешков с песком общей массой более 1001 кг. Каждый мешок весит не более 1 кг. Докажите, что в грузовик, который может увезти 1000 кг и в тележку, в которую помещается 1 кг, можно отгрузить для вывоза не менее 1000 кг песка.

3. Разрежьте правильный шестиугольник на три части, из которых можно сложить треугольник.

4. Числа x и y различны и не равны 1. Докажите, что, если, то .

5. На сторонах квадрата ABCD построены равносторонние треугольники BCE (внутрь квадрата) и CDF (наружу). Точки O и M -- середины отрезков AC и EF соответственно. Докажите, что треугольник OCM -- равносторонний.

6. Из целых чисел от 1 до 20 выбрали 7 различных. Докажите, что из выбранных чисел можно составить две группы с одинаковой суммой. В группы могут входить не все выбранные числа.

7. Решите в целых числах уравнение 36a4+b4=9c4+4d4.

8. На доске написано число 2010. Каждый из двух игроков своим ходом прибавляет к написанному числу один из его простых делителей, не больший 10. Выигрывает тот, кто напишет на доске число, большее 1000000. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

ВДЦ «Орленок», 2013, 1 тур, гранд

1. Дана бесконечная десятичная дробь, причем после запятой у нее встречаются только цифры 0, 1, 2. Известно, что если все цифры 0 заменить на 1, то получится периодическая десятичная дробь (возможно, с предпериодом), и если все цифры 1 заменить на 2, то тоже получится периодическая десятичная дробь. Следует ли отсюда, что исходная дробь периодическая?

2. Найдите наименьшее действительное x такое, что неравенство x+c ≤ (x+a)(x+b) выполнено для всех треугольников со сторонами a, b, c.

3. В клетках таблицы 77 записаны натуральные числа от 1 до 49 по порядку (то есть в клетке на пересечении i -й строки и j -го столбца записано число 7(i-1)+j ). За одну операцию можно увеличить число в одной из клеток на 1 и одновременно уменьшить на 1 числа в некоторых двух клетках, соседних с ней по стороне, либо, наоборот, уменьшить число в одной из клеток на 1 и одновременно увеличить на 1 числа в некоторых двух клетках, соседних с ней по стороне. Можно ли за несколько таких операций сделать числа во всех клетках равными 2013?

4. Касательные, проведенные из точки P к окружности касаются ее в точках A и B. Точка C лежит на меньшей дуге AB, а D диаметрально противоположна точке C. Перпендикуляр к прямой PC, восставленный в точке C, пересекает прямые DA и DB в точках K и L. Докажите, что CK=CL.

5. При каких натуральных n≥2 в любой последовательности (a1, a2, .., an) натуральных чисел с суммой a1+a2+…+an=2n-1 можно найти несколько (более одного) чисел, стоящих подряд, среднее арифметическое которых натурально?

6. Плоскость покрашена в 6 цветов так, что в каждый цвет покрашена хотя бы одна точка. Можно ли утверждать, что всегда найдутся 4 разноцветные точки, лежащие на одной окружности или на одной прямой?

7. Найдите все функции f:RR такие, что для любых x, yR выполняется неравенство f(x+y)+≤ f(f(f(x))).

8. Рассматриваются наборы из семи гирек неотрицательных весов с суммарным весом 1. У какого минимального числа подмножеств этого набора суммарный вес может оказаться больше или равен 2/3?

9. Какие натуральные числа могут быть представлены в виде, где a, b, c -- натуральные числа?

10. Пусть Ia и Ib -- центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC и CA соответственно. Прямая, параллельная AB и пересекающая стороны AC и BC, пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках P и Q. Пусть R – точка пересечения CP и AB. Докажите, что IaQIb+IaRIb=180.

ВДЦ «Орленок», 2013, 1 тур, гранд

1. Дана бесконечная десятичная дробь, причем после запятой у нее встречаются только цифры 0, 1, 2. Известно, что если все цифры 0 заменить на 1, то получится периодическая десятичная дробь (возможно, с предпериодом), и если все цифры 1 заменить на 2, то тоже получится периодическая десятичная дробь. Следует ли отсюда, что исходная дробь периодическая?

2. Найдите наименьшее действительное x такое, что неравенство x+c ≤ (x+a)(x+b) выполнено для всех треугольников со сторонами a, b, c.

3. В клетках таблицы 77 записаны натуральные числа от 1 до 49 по порядку (то есть в клетке на пересечении i -й строки и j -го столбца записано число 7(i-1)+j ). За одну операцию можно увеличить число в одной из клеток на 1 и одновременно уменьшить на 1 числа в некоторых двух клетках, соседних с ней по стороне, либо, наоборот, уменьшить число в одной из клеток на 1 и одновременно увеличить на 1 числа в некоторых двух клетках, соседних с ней по стороне. Можно ли за несколько таких операций сделать числа во всех клетках равными 2013?

4. Касательные, проведенные из точки P к окружности касаются ее в точках A и B. Точка C лежит на меньшей дуге AB, а D диаметрально противоположна точке C. Перпендикуляр к прямой PC, восставленный в точке C, пересекает прямые DA и DB в точках K и L. Докажите, что CK=CL.

5. При каких натуральных n≥2 в любой последовательности (a1, a2, .., an) натуральных чисел с суммой a1+a2+…+an=2n-1 можно найти несколько (более одного) чисел, стоящих подряд, среднее арифметическое которых натурально?

6. Плоскость покрашена в 6 цветов так, что в каждый цвет покрашена хотя бы одна точка. Можно ли утверждать, что всегда найдутся 4 разноцветные точки, лежащие на одной окружности или на одной прямой?

7. Найдите все функции f:RR такие, что для любых x, yR выполняется неравенство f(x+y)+≤ f(f(f(x))).

8. Рассматриваются наборы из семи гирек неотрицательных весов с суммарным весом 1. У какого минимального числа подмножеств этого набора суммарный вес может оказаться больше или равен 2/3?

9. Какие натуральные числа могут быть представлены в виде, где a, b, c -- натуральные числа?

10. Пусть Ia и Ib -- центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC и CA соответственно. Прямая, параллельная AB и пересекающая стороны AC и BC, пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках P и Q. Пусть R – точка пересечения CP и AB. Докажите, что IaQIb+IaRIb=180.

ВДЦ «Орленок», 2013, 1 тур, премьер

1. В бесконечной десятичной дроби после запятой встречаются только цифры 0, 1, 2. Известно, что если все цифры 0 заменить на 1, то получится периодическая десятичная дробь (возможно, с предпериодом), и если все цифры 1 заменить на 2, то тоже получится периодическая десятичная дробь. Следует ли отсюда, что исходная дробь периодическая?

2. При каких натуральных n≥2 в любой последовательности (a1, a2, …, an) натуральных чисел с суммой a1+a2+…+an=2n-1 можно найти несколько (более одного) чисел, стоящих подряд, среднее арифметическое которых натурально?

3. Касательные, проведенные из точки P к окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Точка C лежит на меньшей дуге AB. Перпендикуляр к прямой PC, восставленный в точке C, пересекает биссектрисы углов AOC и BOC в точках D и E. Докажите, что CD=CE.

4. На сторонах AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD выбраны точки P, Q, R, S соответственно. Отрезки PR и QS пересекаются в точке T. Оказалось, что четырёхугольники APTS, BQTP, CRTQ и DSTR ~-- описанные. Докажите, что и четырёхугольник ABCD – описанный.

5. Можно ли разбить квадрат 20132013 на прямоугольники 13 так, чтобы количества горизонтальных и вертикальных прямоугольников отличались на 1?

6. Докажите, что если числа a и b положительны и меньше 1, то

7. Найдите все пары простых чисел p, q такие, что p2+pq+q2 -- точный квадрат.

8. Каждая точка плоскости покрашена в один из k цветов так, что на каждой прямой встречаются точки не более чем двух цветов. При каком наибольшем k это возможно?

ВДЦ «Орленок», 2013, 1 тур, премьер

1. В бесконечной десятичной дроби после запятой встречаются только цифры 0, 1, 2. Известно, что если все цифры 0 заменить на 1, то получится периодическая десятичная дробь (возможно, с предпериодом), и если все цифры 1 заменить на 2, то тоже получится периодическая десятичная дробь. Следует ли отсюда, что исходная дробь периодическая?

2. При каких натуральных n≥2 в любой последовательности (a1, a2, …, an) натуральных чисел с суммой a1+a2+…+an=2n-1 можно найти несколько (более одного) чисел, стоящих подряд, среднее арифметическое которых натурально?

3. Касательные, проведенные из точки P к окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Точка C лежит на меньшей дуге AB. Перпендикуляр к прямой PC, восставленный в точке C, пересекает биссектрисы углов AOC и BOC в точках D и E. Докажите, что CD=CE.

4. На сторонах AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD выбраны точки P, Q, R, S соответственно. Отрезки PR и QS пересекаются в точке T. Оказалось, что четырёхугольники APTS, BQTP, CRTQ и DSTR ~-- описанные. Докажите, что и четырёхугольник ABCD – описанный.

5. Можно ли разбить квадрат 20132013 на прямоугольники 13 так, чтобы количества горизонтальных и вертикальных прямоугольников отличались на 1?

6. Докажите, что если числа a и b положительны и меньше 1, то

7. Найдите все пары простых чисел p, q такие, что p2+pq+q2 -- точный квадрат.

8. Каждая точка плоскости покрашена в один из k цветов так, что на каждой прямой встречаются точки не более чем двух цветов. При каком наибольшем k это возможно?

\centerline{\bf Восьмой Южный математический турнир}

\smallskip

\centerline{\bf ВДЦ ``Орлёнок'', 17-24.09.2013}

\smallskip

\centerline{\it Первый тур. Лига "Старт". 18 сентября 2013 г.}

\medskip

1. Число представлено как сумма 1000 различных нечётных положительных слагаемых. Докажите, что его можно представить как сумму 333 различных чётных положительных слагаемых.

2. На границе квадрата отметили три точки, соединили их отрезками, и по ним разрезали. В результате квадрат распался на 4 треугольника. Какое наибольшее число из этих треугольников могут оказаться равными?

3. 24 точки на окружности занумерованы (возможно, в беспорядке) нечетными числами 3, 5, 7, \dots, 49. Если один номер делится на другой, точки соединяются хордой. Докажите, что найдутся хорды, пересекающиеся внутри круга.

4. На равных сторонах AB и BC треугольника ABC взяли соответственно точки M и N такие, что AC=CM и MN=NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH -- биссектриса угла MNC.

5. "В этой фразе доля цифр X составляет \dots/\dots, доля цифр Y -- \dots/\dots, доля цифр Z -- \dots/\dots, а на долю остальных использованных цифр остается \dots/\dots.". Можно ли вставить разные цифры вместо X, Y и Z и числа (не обязательно разные) вместо многоточий так, чтобы утверждение было верным?

6. На прямую между псом в будке и котом положили кило сосисок, и животные одновременно бросились к ним. Кот бегает вдвое быстрее пса, а ест вдвое медленнее. Добежав до сосисок, оба ели без драки, и съели поровну. Известно, что кот мог бы за одно то же время съесть все сосиски или добежать от места старта до будки пса. К кому ближе положили сосиски, и во сколько раз?

7. Перед Аней, Борей и Васей лежит по кучке орехов, всего 101 орех. Сначала Аня положила все свои орехи в кучки остальным, одному вдвое больше, чем другому. Потом Боря сделал то же, положив одному втрое больше, чем другому. Наконец то же сделал Вася, положив одному вчетверо больше, чем другому. В результате у Ани стало столько же орехов, сколько было вначале. Сколько орехов раздал Вася?



8. На некоторых клетках шахматной доски лежат бобы, не более двух на клетке, причём на каждой горизонтали и на каждой вертикали число бобов одно и то же (больше одного). Гордей и Вера ходят по очереди, начинает Вера. За ход можно снять с доски один боб. Если образуется пустая вертикаль, выигрывает Вера, если горизонталь -- Гордей, а если горизонталь и вертикаль одновременно, то тот, кто сделал последний ход. Докажите, что Гордей всегда может выиграть.

\end
скачать файл



Смотрите также:
1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99
223.47kb.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя
121.29kb.
О месторождениях и проявлениях декоративно-поделочных и облицовочных камней на территории Еврейской автономной области
67.46kb.
Тезисы: Роль Интифады в мирном урегулировании на Ближнем Востоке
58.04kb.
Зиновий сагалов
444.13kb.
Предложение по организации шведского стола на 100 персон
23.21kb.
1. 1 Понятие матрицы
99.65kb.
Драматические фрагменты. Театрализация может использоваться в узловых моментах хода урока мужества. Музыка
373.44kb.
Тема: «Сервировка праздничного стола» Класс: 8
251.64kb.
Виктор Олегович Пелевин П5: Прощальные песни политических пигмеев Пиндостана Виктор пелевин
2428.2kb.
См Худсон стр. 76. точно такая же задачка, один в один
23.24kb.
«Комплексные числа». Пособие делится на четыре части: комплексные числа в алгебраической форме, геометрическая интерпретация комплексных чисел, комплексные числа в тригонометрической форме
1304.92kb.