gazya.ru страница 1страница 2
скачать файл



САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Базовая кафедра динамического моделирования и биомедицинской инженерии


CАРАТОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН
Т.В. Диканев
Спектральный анализ сигналов
Учебно-методическое пособие

Cаратов 2011


УДК 530.18

Б53

Диканев Т.В.,. Спектральный анализ сигналов. Учебно-методическое пособие для студентов факультета нано- и биомедицинских технологий. Саратов, 2011. 24 с.


Рецензент: д.ф.-м.н. Пономаренко В.И..


© Диканев Т.В. 2011
На уровне и в темпе, доступном даже не самому сильному студенту 2 курса, даются основные теоретические представления о преобразование Фурье, спектральном анализе и фильтрации сигналов. Предлагается провести последовательное самостоятельное освоение материала с помощью нескольких обучающих программ и заданий к ним, которые можно скачать с сайта  http://www.tvd-home.ru/files/spectr.zip. Рассматривается множество примеров эталонных сигналов, а также предлагается применить изложенные методики к анализу нескольких примеров биологических сигналов.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения в рамках курса «Электротехника» студентами факультета нано- и биомедицинских технологий.


СОДЕРЖАНИЕ


СОДЕРЖАНИЕ 4

1. Гармонический сигнал. 5

2. Сумма двух гармонических сигналов. 6

4. Преобразование Фурье. 8

5. Спектры эталонных сигналов. 11

6. Фильтрация сигналов. 17

7. Спектры биологических сигналов. 18

8. Самостоятельное программирование расчета спектра мощности. 23




1. Гармонический сигнал.


Гармоническим называется сигнал вида

. (1)

- амплитуда сигнала, - частота, - начальная фаза. Величина, стоящая в скобках, называется мгновенной фазой. Часто удобно вместо использовать величину . Это величина обратная периоду, равная количеству колебаний в единицу времени.

В ряде случаев гармонический сигнал удобно представить как действительную часть комплексного числа .



Задание 1:

Запустите программу Harmonic.exe. Она предназначена для построения графика сигнала (1), который, как вы, видимо, догадались, имеет форму синусоиды. Сигнал показан черным цветом, синяя и красная кривая это график собственно синуса и косинуса. С помощью программы рассмотрите, как изменяется сигнал при изменении амплитуды, частоты и начальной фазы. Ответьте на следующие вопросы и проверьте правильность ответов с помощью программы:

а) Какова должна быть начальная фаза сигнала, чтобы он совпадал с синусоидой?

А с косинусоидой?

Чему равен сдвиг по фазе (различие в начальных фазах) между синусом и косинусом?

б) Чему равен период гармонического сигнала с частотой ?

Какова должна быть частота , чтобы период равнялся 1?

в) При какой разности начальных фаз (кроме нулевой) два сигнала с частотой будут совпадать?

г) Известное тригонометрическое соотношение

(2)

говорит о том, что сигнал с произвольной амплитудой и начальной фазой можно получить как сумму синуса и косинуса той же частоты. Запишите, каковы должны быть и , чтобы получить сигнал с амплитудой и начальной фазой


2. Сумма двух гармонических сигналов.


Чуть более сложную форму сигнала можно смоделировать, сложив два гармонических:

. (3)

Задание 2:

Запустите программу TwoHarmonic.exe для исследования формы сигнала (3).

а) Проследите, как изменяется вид суммы двух сигналов с одинаковой частотой и амплитудой при изменении разности фаз. Объясняется ли это изменение формулой полученной вами в задании (г) предыдущего пункта? Какова должна быть разность фаз, чтобы сигнал был нулевым? А чтобы имел максимальную амплитуду?

б) Что-то у меня возникли сомнения, правильно ли я поставил знак перед арктангенсом в формуле (2). Проверьте это с помощью программы.

в) Найдите такое соотношение частот и амплитуд, чтобы сигнал имел форму качественно похожую на показанные ниже графики. Проследите, как будет меняться форма этих сигналов при изменении разности фаз.

г) Чему равен период сигнала, полученного как сумма синусов с частотами и ? Ответ подтвердите скриншотом графика из программы.

А с частотами и ?

А когда между частотами выполняется соотношение , где и - целые числа?

Будет ли период у сигнала, когда соотношение частот иррациональное, то есть соотношение не выполняется ни при каких целых и (такой сигнал называют еще квазипериодическим)?

3. Представление произвольной функции как суммы гармоник.

Складывая две гармоники можно получить большое разнообразие сигналов. Можно ли получить произвольный сигнал, складывая гармоники? Теорема Вейерштрасса (по всей видимости, вы уже встречались с ней в курсе мат. анализа) говорит, что можно. Любая периодическая функция с периодом (и соответственно частотой ) может быть представлена с помощью суммы гармоник с периодами , , , …, и т. д. (частоты соответственно будут , , …, ,…):



. (4)

Соотношение (4) называется разложением в ряд Фурье. Хотя для точного представления нужно бесконечное число гармоник, ряд обычно быстро сходится и гармоники высокого порядка (при больших ) дают лишь небольшую поправку.

Если функция не периодическая, то ее можно представить через гармоники на конечном отрезке, например от 0 до некоторого момента . Тогда по формуле (4) можно получить функцию с периодом , которая, однако, на отрезке будет совпадать с исходной.

Для иллюстрации выше сказанного запустите программу FourierSeries.exe, которая иллюстрирует аппроксимацию прямоугольного сигнала все большим количеством гармоник. В верхней части окна программы на графике показан сигнал в виде одиночного прямоугольника. Ширину прямоугольника можно задать в соответствующем поле ввода, после чего надо нажать на кнопку «Новый прямоугольник».

Увеличивая количество гармоник, и нажимая кнопку «Аппроксимировать», проследите за тем, как прямоугольник все более точно представляется в виде суммы гармонических сигналов. Сама сумма показана на верхнем графике черной кривой. На нижнем графике приведены сами гармоники.

Количественной характеристикой точности аппроксимации может служить корень из среднего квадрата разности между исходной функцией (прямоугольником) и суммой гармоник. Программа показывает величину этой ошибки, деленную на стандартное отклонение (корень из дисперсии) сигнала.

Обратите внимание, что все графики можно масштабировать, выделяя мышкой слева направо нужный прямоугольник. Чтобы вернуться к исходному масштабу, нужно задать прямоугольник, один угол которого выходит за пределы графика.

Задание 3:

Увеличится или уменьшится количество гармоник, необходимых для аппроксимации с заданной точностью, если уменьшить ширину прямоугольника?


4. Преобразование Фурье.


Чтобы представить в виде гармоник непериодический сигнал не на конечном интервале, а на всей оси, необходимо использовать множество гармоник с непрерывным набором частот. Такое представление можно записать следующим образом:

. (5)

То есть суммируются синусоиды с разными частотами, у каждой своя амплитуда и начальная фаза.

Как же найти нужные амплитуды и фазы для интересующих нас сигналов? Для этого вспомним, что синусоиду с ненулевой начальной фазой можно представить как сумму синуса и косинуса с нулевыми начальными фазами:

, (6)

где , (см. задание 1.1г). Коэффициенты и для гармоник найти оказывается гораздо проще, чем амплитуду и фазу. А именно:



, (7)

. (8)

То есть надо найти интеграл от произведения сигнала на синус или косинус соответственно.

Попробуйте представить себе, что значения , и в каждый момент времени это координаты векторов (такие вот бесконечномерные вектора). Тогда формулы (7) и (8) есть не что иное, как скалярные произведения этих векторов, то есть проекции вектора на вектора и . Вектор, соответствующий сигналу, мы представляем в виде комбинации базисных векторов, которым являются синусы и косинусы.

После того как вычислены и при желании легко можно найти амплитуду и фазу каждой гармоники.

Приведенные выше формулы для краткости и удобства аналитических расчетов принято писать в комплексной форме. Вместо формулы (5) пишут:

, (9)

вместо уравнений (7) и (8):



. (10)

Здесь , то есть действительная часть этой величины есть , а мнимая есть . Выражение (10) называют прямым преобразованием Фурье, (9) – обратным преобразованием Фурье. Благодаря комплексному представлению получается одна формула для прямого преобразования вместо двух. Кроме того, экспоненты проще интегрировать, чем синусы и косинусы и, соответственно, проще находить аналитические выражения для спектров.

Теперь вспомним, что экспериментально снимаемые и обрабатываемые на компьютере сигналы представляют собой временные ряды. То есть значения сигнала известны только в дискретные моменты времени: , . В результате интегралы приходится менять на суммы:

, (11)

. (12)

Преобразование Фурье становится таким же дискретным, как и сигнал: . Спектральное разрешение (наименьший шаг по частоте) определяется длиной анализируемого ряда . Кроме того, появляется предельная частота . Колебания с более высокими частотами просто невозможно анализировать, так как на период приходится в среднем меньше двух значений во временном ряде.

Величины и связаны равенством Парсеваля:

. (13)

То есть сумма квадратов значений в сигнале пропорциональна сумме квадратов амплитуд гармоник. В случае если сигнал представляет собой ток или напряжение в цепи, сумма квадратов значений имеет смысл мощности. Равенство Парсеваля говорит, что эта мощность распределяется по гармоникам. Поэтому график величины как функции частоты называется спектром мощности. Иногда кроме спектра мощности (отражающего амплитуды гармоник) используют также спектр фаз.


скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Учебно-методическое пособие Cаратов 2011 Б53 Диканев Т. В спектральный анализ сигналов. Учебно-методическое пособие для студентов факультета нано- и биомедицинских технологий. Саратов, 2011. 24 с
242.38kb.
Учебно-методическое пособие разработано старшим преподавателем кафедры экологии и природопользования, кандидатом биологических наук Т. В. Денисовой
619.14kb.
Учебно-методическое пособие для студентов педагогического факультета специальности 050708 «Педагогика и методика начального образования»
726.04kb.
Учебно-методическое пособие по курсу «управление банковским продуктом»
352.92kb.
Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению №030900 Юриспруденция, квалификация бакалавр
829.56kb.
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с требованиями фгос по направлению 080100. 62 «Экономика» профиль «Финансы и кредит»
822.57kb.
Решение задач по генетике Учебно-методическое пособие
470.01kb.
Учебно-методическое пособие для контроля знаний студентов, обучающихся по специальностям 1-74 03 01«Зоотехния» и1-74 03 02 «Ветеринарная медицина»
434.15kb.
Учебно-методическое пособие для практических занятий по курсу «Учение о фациях» для студентов геологического факультета
720.94kb.
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012
1172.79kb.
Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности 07. 00. 02 Отечественная история
745kb.
-
441.22kb.