gazya.ru страница 1
скачать файл

Вариант задания олимпиады памяти И.В.Савельева для 11 класса по математике с ответами и решениями
1. Решите уравнение . Сколько решений принадлежит отрезку ?
2. Для любого целого решить уравнение: . При каких уравнение имеет два целых решения?
3. Представьте, что вы находитесь на скачках кузнечиков, проводимых по следующим правилам: два кузнечика начинают прыгать по прямой из точки в точку и обратно. Вернувшись в , они повторяют маршрут и т.д. Скорость первого кузнечика 12 (), второго 5 (), расстояние между и равно 60 единиц. Бега продолжаются 60 сек. Какое время кузнечики могут видеть друг друга? Считать, что кузнечик прыгает головой вперед и видит то, что находится перед ним.
4. При каких значениях параметра прямая с уравнением пересекает прямоугольник: , на плоскости? Найти длину отрезка прямой, лежащего внутри прямоугольника при .
5. Площадь основания прямой треугольной призмы равна . Радиус шара, описанного около призмы, равен . Какое наибольшее значение при этих условиях может принимать объем призмы?
Ответы и решения
1. (а) Используя формулу для косинуса двойного угла, сводим уравнение к квадратному относительно :

Решение этого уравнения дает



и

Эти уравнения имеют следующие серии решений



, .

(б) Найдем число решений на отрезке . Число решений первой серии на отрезке определяется числом целых решений неравенства: или , т.е. решений.

Аналогично, вторая серия имеет на заданном отрезке решений.

Кроме того, очевидно, что данные серии пересекаются – т.е. существуют значения , принадлежащие и первой, и второй серии решений. Эти пересечения находятся из уравнения



или . Таким образом, решения встречаются в обеих сериях. Таких решений на отрезке - 1005 штук. Поэтому общее число решений на отрезке равно .

Итак, имеем

Ответ:


(а) , .

(б) 3015 решений.



2. (а) Для четных () данное в условии уравнение сводится к уравнению

(*)

Чтобы равенство (*) выполнялось, оба модуля должны одновременно равняться нулю. Поэтому уравнение (*) эквивалентно системе уравнений:



(**)

Решение системы (**) дает: при (). При других четных решений нет.

Для нечетных () данное в условии уравнение сводится к уравнению

Раскрывая модули, найдем, что при любых уравнение имеет два решения и .

(б) Уравнение может иметь два целых решения, если - нечетное () и выполнено условие - целое число (корень всегда целый). Очевидно, это условие выполнено при или .

Таким образом, имеем

Ответ:

, Æ

,

, ,

, ,

3. Используем графические соображения. Построим графики зависимости координат кузнечиков от времени (начало координат в точке А, ось направлена в точку В). Поскольку кузнечики движутся с постоянными скоростями, эти зависимости линейные, лежат в интервале изменений координат 0-60, возрастают при движении кузнечика из А в В, и убывают при движении из В в А (см. рисунок). Первый кузнечик возвращается на старт каждые 10 сек, а второй - каждые 24 сек. На рисунке зависимость координаты быстрого кузнечика от времени показана сплошной линией, медленного – пунктирной.


Аналитически эти зависимости описываются функциями:

и .

Моменты встречи кузнечиков описываются уравнением или сериями и .

Очевидно, кузнечики видят друг друга, когда один движется из А в В (его координата растет), второй из В в А (его координата убывает), и координата первого меньше координаты второго. Из рисунка эти участки очевидны – интервалы времени, им соответствующие, выделены на оси времени жирным. Таких интервалов - восемь. Находя координаты точек пересечения графиков и суммируя интервалы времени

найдем время, в течение которого кузнечики видят друг друга.

В результате имеем

Ответ:


сек.

4. (а) Прямая, описываемая уравнением , пересекает ось ординат в точке с координатой . Поэтому при все прямые, лежащие выше прямой, проходящей через точку , пересекают прямоугольник, ниже - нет. Поэтому все значения , удовлетворяющие системе неравенств

- искомые. Решением этой системы неравенств является полуось .

Все прямые, пересекающие ось ординат в точках с координатами , пересекают прямоугольник, и поэтому значения - искомые.

При все прямые пересекают ось ординат выше прямоугольника, следовательно, на полуоси искомых точек нет.

(б) Найдем теперь длину прямой, лежащей внутри прямоугольника при . В этом случае прямая пересекает прямоугольник по отрезку, соединяющему точки и , и его длина .

Поэтому имеем

Ответ:

а) ,



б) .

5. Наибольшему объему призмы с заданной площадью основания соответствует наибольшая высота. Последнее достигается при наименьшем возможном при заданных условиях радиусе круга, описанного около основания призмы. Это бывает, когда основание призмы – правильный треугольник площади со стороной . Тогда . Следовательно, высота призмы определяется соотношением

,

а ее объем равен



.

Таким образом,



Ответ:

.
скачать файл



Смотрите также:
Вариант задания олимпиады памяти И. В. Савельева для 11 класса по математике с ответами и решениями 1
46.18kb.
Пожалуйста, начинайте каждое задание с новой страницы, указав номер выполняемого задания, текст задания переписывать не надо, таблищы с ответами перенесите в тетрадь. Задания можете оставить себе. Время выполнения ра6оты: 2,5 часа
38.85kb.
Тестовые задания с ответами
231.67kb.
Внеклассное мероприятие для учащихся 6 класса. Учащиеся исполняют песню «Гимн математике»
45kb.
Задания по истории России для школьной олимпиады в 2005-2006 г
91.98kb.
Методические указания и индивидуальные задания к практическим занятиям по математике для студентов всех специальностей института транспорта
714.98kb.
Решения заданий по математике для проведения олимпиады вузов Росрыболовства среди учащихся 9 классов 2011-12 уч год
17.55kb.
Задания по географии для 10 класса на период с 23 сентября по 9 октября
78.95kb.
Зарубежное изобразительное искусство
86.57kb.
Программа курса лекций по математике для учащихся 10-11 «Е» класса гимназии №1 Лектор д ф. м н., доцент С. В. Судоплатов
84.05kb.
Задание заочной части Вариант №2 Выполните тестовые задания
118.87kb.
Задания для первого (заочного) тура олимпиады по географии на звание «Стипендиат агу» 11 класс
132.09kb.